Задача 1
Условие (кратко)
Стороны угла O пересечены параллельными прямыми AB и CD (A, C на одной стороне, B, D — на другой). Доказать, что отрезки OA и AC пропорциональны отрезкам OB и BD.
Решение
Дано: угол \(O\), точки \(A\), \(C\) на одной стороне, \(B\), \(D\) на другой, \(AB \parallel CD\). Доказать: \(\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{AC}{BD}\).
- Угол \(O\) у треугольников \(OAB\) и \(OCD\) общий, \(\angle OAB = \angle OCD\) как соответственные при \(AB \parallel CD\). По первому признаку \(\triangle OAB \sim \triangle OCD\), поэтому \(\dfrac{OC}{OA} = \dfrac{OD}{OB}\).
- \(OC = OA + AC\), \(OD = OB + BD\), значит, \(1 + \dfrac{AC}{OA} = 1 + \dfrac{BD}{OB}\), то есть \(\dfrac{AC}{OA} = \dfrac{BD}{OB}\).
- Из этой пропорции \(\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{AC}{BD}\), что и требовалось.
В учебнике другое решение: через \(A\) проводят \(AC_1 \parallel BD\) и пользуются тем, что \(ABDC_1\) — параллелограмм, поэтому \(AC_1 = BD\).
Ответ
Утверждение доказано: OA/OB = AC/BD
Почему так
Параллельные прямые отсекают от угла подобные треугольники, отсюда пропорциональность отрезков на сторонах угла.
Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».