Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 66

Упражнение 664 к § 66

§ 66. Первый признак подобия треугольников · тема: Первый признак подобия треугольников

Задача 1

Условие (кратко)

Стороны угла A пересечены параллельными прямыми BC и DE (B, D на одной стороне, C, E — на другой). Найти AC, если CE = 10 см, AD = 22 см, BD = 8 см (B — между A и D).

Решение

Дано

$BC \parallel DE$
$$B$$ лежит между $$A$$ и $$D$$
$$C$$ — между $$A$$ и $$E$$ ; $$CE = 10$$ см
$$AD = 22$$ см
$$BD = 8$$ см

Найти

$$AC$$

Угол $$A$$ общий, $\angle ABC = \angle ADE$ (соответственные при $BC \parallel DE$ ), поэтому $\triangle ABC \sim \triangle ADE$ .
$$AB = AD - BD = 14$$ см. $\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{AB}{AD}$ , то есть $\dfrac{AC}{AC + 10} = \dfrac{14}{22}$ .
$$22AC = 14AC + 140$$ , $$8AC = 140$$ , $$AC = 17{,}5$$ см.

Мы считали, что $$B$$ лежит между $$A$$ и $$D$$ (прямая $$BC$$ ближе к вершине), как и в ответе учебника. Если бы ближе к вершине была прямая $$DE$$ , то $$AB = 22 + 8 = 30$$ см, $$AE = AC - 10$$ , и из $\dfrac{AC - 10}{AC} = \dfrac{22}{30}$ получилось бы $$AC = 37{,}5$$ см.

Ответ

AC = 17,5 см

Почему так

Параллельные прямые отсекают от угла подобные треугольники ABC и ADE.

Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».

Задача 2

Условие (кратко)

В той же конструкции найти BD и DE, если AB = 10 см, AC = 8 см, BC = 4 см, CE = 4 см.

Решение

Дано

$$AB = 10$$ см
$$AC = 8$$ см
$$BC = 4$$ см
$$CE = 4$$ см

Найти

$$BD$$
$$DE$$

$\triangle ABC \sim \triangle ADE$ (как в пункте а). $$AE = AC + CE = 12$$ см, коэффициент $k = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5$ .
$AD = 1{,}5 \cdot 10 = 15$ см, $$BD = 15 - 10 = 5$$ см.
$DE = 1{,}5 \cdot 4 = 6$ см.

Ответ

BD = 5 см, DE = 6 см

Почему так

Из подобия треугольников ABC и ADE все стороны большого в одно и то же число раз больше сторон малого.

Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».

Задача 3

Условие (кратко)

В той же конструкции найти BC, если AB : BD = 2 : 1 и DE = 12 см.

Решение

Дано

$$AB : BD = 2 : 1$$
$$DE = 12$$ см

Найти

$$BC$$

Пусть $$AB = 2t$$ , $$BD = t$$ , тогда $$AD = 3t$$ .
$\triangle ABC \sim \triangle ADE$ , поэтому $\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{2}{3}$ , $BC = 12 \cdot \dfrac{2}{3} = 8$ см.

Ответ

BC = 8 см

Почему так

Отношение BC : DE равно отношению AB : AD сходственных сторон подобных треугольников.

Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки