Задача 1
Условие (кратко)
Прямые a и b пересечены параллельными прямыми AA1, BB1, CC1; A, B, C лежат на a, а A1, B1, C1 — на b. Доказать, что AB : BC = A1B1 : B1C1.
Решение
Дано: \(AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1\), \(A, B, C \in a\), \(A_1, B_1, C_1 \in b\). Доказать: \(\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A_1B_1}{B_1C_1}\).
- Если \(a \parallel b\), то \(ABB_1A_1\) и \(BCC_1B_1\) — параллелограммы, \(AB = A_1B_1\), \(BC = B_1C_1\), и равенство очевидно.
- Пусть \(a\) и \(b\) не параллельны. Проведём через \(A\) прямую, параллельную \(b\); она пересечёт \(BB_1\) в точке \(B_2\), а \(CC_1\) — в точке \(C_2\). Четырёхугольники \(A_1B_1B_2A\) и \(B_1C_1C_2B_2\) — параллелограммы, поэтому \(AB_2 = A_1B_1\), \(B_2C_2 = B_1C_1\).
- Стороны угла с вершиной \(A\) (прямые \(a\) и \(AC_2\)) пересечены параллельными прямыми \(BB_2\) и \(CC_2\). По задаче 663 \(\dfrac{AB}{AB_2} = \dfrac{BC}{B_2C_2}\), то есть \(\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AB_2}{B_2C_2} = \dfrac{A_1B_1}{B_1C_1}\).
Ответ
Утверждение доказано: AB/BC = A1B1/B1C1
Почему так
Параллельные прямые высекают на двух прямых пропорциональные отрезки — это обобщение теоремы Фалеса.
Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».