Задача 1
Условие (кратко)
Центр вписанной окружности равнобедренного треугольника делит высоту к основанию в отношении 12 : 5, считая от вершины; боковая сторона 60 см. Найти основание.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(AB = BC = 60\) см
- \(BH\) — высота к основанию \(AC\)
- \(O\) — центр вписанной окружности
- \(BO : OH = 12 : 5\)
Найти
- \(AC\)
- Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла \(B\), то есть на высоте \(BH\). Пусть \(BO = 12t\), \(OH = 5t\); \(OH\) — радиус, так как \(OH \perp AC\).
- Опустим перпендикуляр \(OK\) на сторону \(AB\); \(OK\) — тоже радиус, \(OK = 5t\).
- Треугольники \(BKO\) и \(BHA\) прямоугольные с общим острым углом \(B\), по первому признаку они подобны: \(\dfrac{OK}{AH} = \dfrac{BO}{BA}\), то есть \(\dfrac{5t}{AH} = \dfrac{12t}{60}\).
- \(AH = \dfrac{5 \cdot 60}{12} = 25\) см, \(AC = 2AH = 50\) см (высота равнобедренного треугольника — медиана).
Можно и по свойству биссектрисы (задача 642): \(AO\) — биссектриса треугольника \(ABH\), поэтому \(\dfrac{BO}{OH} = \dfrac{AB}{AH}\).
Ответ
50 см
Почему так
Радиусы, проведённые в точки касания, дают прямоугольный треугольник, подобный половине данного.
Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».