Задача 1
Условие (кратко)
В треугольнике ABC сторона AB = a, высота CH = h. Найти сторону квадрата, у которого две вершины лежат на AB, а две другие — на сторонах AC и BC.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(AB = a\)
- высота \(CH = h\); квадрат \(PQRS\): \(P \in AC\)
- \(Q \in BC\)
- \(R, S \in AB\)
Найти
- сторону квадрата \(x\)
- \(PQ \parallel AB\), поэтому \(\angle CPQ = \angle CAB\) (соответственные), угол \(C\) общий: \(\triangle CPQ \sim \triangle CAB\) с коэффициентом \(\dfrac{PQ}{AB} = \dfrac{x}{a}\).
- Высота \(CH\) пересекает \(PQ\) в точке \(H_1\). Треугольники \(CPH_1\) и \(CAH\) подобны по двум углам (угол \(C\) общий, прямые углы), поэтому \(\dfrac{CH_1}{CH} = \dfrac{CP}{CA} = \dfrac{x}{a}\) — высоты подобных треугольников относятся как стороны.
- \(CH_1 = h - x\) (расстояние между \(PQ\) и \(AB\) равно стороне квадрата). Получаем \(\dfrac{h - x}{h} = \dfrac{x}{a}\).
- \(ah - ax = hx\), \(x = \dfrac{ah}{a + h}\).
Ответ
ah/(a + h)
Почему так
Верхняя сторона квадрата отсекает треугольник, подобный данному, и его высота меньше высоты h на сторону квадрата.
Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».