Задача 1
Условие (кратко)
Через точку M медианы AD треугольника ABC и вершину B проведена прямая, пересекающая AC в точке K. Найти AK : KC, если M — середина AD.
Решение
Дано
- \(AD\) — медиана \(\triangle ABC\)
- \(M\) — середина \(AD\)
- прямая \(BM\) пересекает \(AC\) в точке \(K\)
Найти
- \(\dfrac{AK}{KC}\)
- Проведём через \(D\) прямую, параллельную \(BK\); она пересечёт \(AC\) в точке \(L\).
- Стороны угла \(C\) пересечены параллельными прямыми \(DL\) и \(BK\). По задаче 663 \(\dfrac{CL}{LK} = \dfrac{CD}{DB} = 1\), то есть \(KL = LC\).
- Стороны угла \(A\) пересечены параллельными прямыми \(MK\) и \(DL\): \(\dfrac{AK}{KL} = \dfrac{AM}{MD} = 1\), то есть \(AK = KL\).
- \(AK = KL = LC\), значит, \(KC = 2AK\) и \(\dfrac{AK}{KC} = \dfrac{1}{2}\).
Ответ
1/2
Почему так
Прямая через D, параллельная BK, делит отрезки на сторонах углов пропорционально — как в задаче 663.
Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».