Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что два равносторонних треугольника подобны.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\) со сторонами \(a\), \(\triangle A_1B_1C_1\) со сторонами \(b\) (оба равносторонние). Доказать: \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).
Отношения сходственных сторон:
\[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} = \frac{a}{b}.\]
Три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, поэтому треугольники подобны по третьему признаку с коэффициентом \(\dfrac{a}{b}\).
Другой путь: все углы равностороннего треугольника равны \(60^\circ\), и подобие следует из первого признака.
Ответ
Утверждение доказано: любые два равносторонних треугольника подобны
Почему так
У равносторонних треугольников отношения всех трёх пар сторон одинаковы — третий признак подобия.
Подробнее — в теме «Третий признак подобия треугольников».