Задача 1
Условие (кратко)
Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до прямой, содержащей его большую сторону, равно 2,5 см. Найти меньшую сторону.
Решение
Дано
- \(ABCD\) — прямоугольник
- \(AD\) — большая сторона
- \(O\) — точка пересечения диагоналей
- \(OH \perp AD\)
- \(OH = 2{,}5\) см
Найти
- \(CD\)
- Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(O\) — середина \(AC\).
- Прямоугольные треугольники \(AHO\) и \(ADC\) подобны по двум углам: \(\angle A\) общий, \(\angle AHO = \angle ADC = 90^\circ\). Коэффициент подобия \(AO : AC = 1 : 2\), поэтому \(H\) — середина \(AD\), а \(OH\) — средняя линия треугольника \(ACD\).
- Значит, \(OH = \dfrac{1}{2}CD\), откуда \(CD = 2 \cdot OH = 2 \cdot 2{,}5 = 5\) см.
Меньшая сторона — именно \(CD\), так как \(AD\) по условию большая.
Ответ
5 см
Почему так
Перпендикуляр из центра прямоугольника на сторону — средняя линия треугольника, отсечённого диагональю.
Подробнее — в теме «Средняя линия треугольника».