Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.
Решение
Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AD \parallel BC\), \(AD > BC\); \(M\) — середина диагонали \(AC\), \(N\) — середина диагонали \(BD\). Доказать: \(MN \parallel AD\), \(MN = \dfrac{AD - BC}{2}\).
- Отметим \(K\) — середину боковой стороны \(AB\).
- В треугольнике \(ABC\) отрезок \(KM\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(AC\) — это средняя линия: \(KM \parallel BC\), \(KM = \dfrac{BC}{2}\).
- В треугольнике \(ABD\) отрезок \(KN\) — средняя линия: \(KN \parallel AD\), \(KN = \dfrac{AD}{2}\).
- Через точку \(K\) проходит только одна прямая, параллельная \(AD\) (аксиома параллельных), а \(BC \parallel AD\). Поэтому точки \(K\), \(M\), \(N\) лежат на одной прямой, параллельной основаниям. Значит, \(MN \parallel AD \parallel BC\).
- Точки \(M\) и \(N\) лежат на этой прямой по одну сторону от \(K\) (внутри трапеции), а \(KM < KN\), так как \(BC < AD\). Поэтому \(M\) лежит между \(K\) и \(N\), и
\[MN = KN - KM = \dfrac{AD}{2} - \dfrac{BC}{2} = \dfrac{AD - BC}{2}.\]
Ответ
Утверждение доказано — MN ∥ AD и MN = (AD − BC)/2.
Почему так
Середина боковой стороны и середины обеих диагоналей лежат на одной прямой — каждая пара даёт среднюю линию своего треугольника.
Подробнее — в теме «Средняя линия треугольника».