Задача 1
Условие (кратко)
Диагональ AC параллелограмма ABCD равна 18 см. Середина M стороны AB соединена с вершиной D. На какие отрезки DM делит диагональ AC?
Решение
Дано
- \(ABCD\) — параллелограмм
- \(AC = 18\) см
- \(M\) — середина \(AB\)
- \(DM\) пересекает \(AC\) в точке \(P\)
Найти
- \(AP\) и \(PC\)
- Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому \(O\) — середина \(BD\) и \(AO = 18 : 2 = 9\) см.
- В треугольнике \(ABD\) отрезок \(AO\) — медиана (к стороне \(BD\)), \(DM\) — медиана (к стороне \(AB\)). Точка \(P\) — точка их пересечения.
- Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении \(2 : 1\), считая от вершины, поэтому \(AP = \dfrac{2}{3}AO = \dfrac{2}{3} \cdot 9 = 6\) см.
- \(PC = AC - AP = 18 - 6 = 12\) см.
Проверка другим способом: \(\triangle APM \sim \triangle CPD\) по двум углам (накрест лежащие при \(AB \parallel CD\)), коэффициент \(AM : CD = 1 : 2\), поэтому \(AP : PC = 1 : 2\).
Ответ
6 см и 12 см
Почему так
AO и DM — медианы треугольника ABD, а точка пересечения медиан делит каждую в отношении 2 : 1 от вершины.
Подробнее — в теме «Средняя линия треугольника».