Задача 1
Условие (кратко)
В треугольнике ABC медианы AA₁ и BB₁ пересекаются в точке O. Найти площадь треугольника ABC, если площадь треугольника ABO равна S.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(AA_1\) и \(BB_1\) — медианы
- \(O\) — точка их пересечения
- \(S_{ABO} = S\)
Найти
- \(S_{ABC}\)
- Точка пересечения медиан делит медиану в отношении \(2 : 1\) от вершины: \(AO = \dfrac{2}{3}AA_1\).
- Треугольники \(ABO\) и \(ABA_1\) имеют общую вершину \(B\), а их основания \(AO\) и \(AA_1\) лежат на одной прямой. Высота из \(B\) у них общая, поэтому площади относятся как основания: \(S_{ABO} = \dfrac{2}{3}S_{ABA_1}\), откуда \(S_{ABA_1} = \dfrac{3}{2}S\).
- Медиана \(AA_1\) делит треугольник \(ABC\) на два треугольника с равными основаниями \(BA_1 = A_1C\) и общей высотой из \(A\), то есть равной площади: \(S_{ABC} = 2S_{ABA_1} = 2 \cdot \dfrac{3}{2}S = 3S\).
Ответ
3S
Почему так
Точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2 : 1, а у треугольников с общей высотой площади относятся как основания.
Подробнее — в теме «Средняя линия треугольника».