Главная Учебники Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.) § 71 Упражнение 678
Задача 1
Условие (кратко)
В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°, CH — высота, BC = a, CA = b, AH = bс, HB = aс) найти h, a и b, если bс = 25, aс = 16.
Решение
Дано \(b_c = AH = 25\) \(a_c = HB = 16\)
Высота из вершины прямого угла — среднее пропорциональное отрезков гипотенузы: \(h = \sqrt{a_c \cdot b_c} = \sqrt{16 \cdot 25} = \sqrt{400} = 20\) .
Гипотенуза \(c = a_c + b_c = 16 + 25 = 41\) .
Катет — среднее пропорциональное гипотенузы и прилежащего к нему отрезка: \(a = \sqrt{c \cdot a_c} = \sqrt{41 \cdot 16} = 4\sqrt{41}\) , \(b = \sqrt{c \cdot b_c} = \sqrt{41 \cdot 25} = 5\sqrt{41}\) .
Ответ
h = 20, a = 4√41, b = 5√41
Задача 2
Условие (кратко)
В тех же обозначениях найти h, a и b, если bс = 36, aс = 64.
Решение
Дано \(b_c = AH = 36\) \(a_c = HB = 64\)
\(h = \sqrt{a_c \cdot b_c} = \sqrt{64 \cdot 36} = 8 \cdot 6 = 48\) .\(c = a_c + b_c = 64 + 36 = 100\) .\(a = \sqrt{c \cdot a_c} = \sqrt{100 \cdot 64} = 80\) , \(b = \sqrt{c \cdot b_c} = \sqrt{100 \cdot 36} = 60\) .
Проверка по теореме Пифагора: \(80^2 + 60^2 = 6400 + 3600 = 10\,000 = 100^2\) .
Ответ
h = 48, a = 80, b = 60
Задача 3
Условие (кратко)
В тех же обозначениях найти a, c и aс, если b = 12, bс = 6.
Решение
Дано \(b = AC = 12\) \(b_c = AH = 6\)
Катет \(b\) — среднее пропорциональное гипотенузы и отрезка \(b_c\) : \(b^2 = c \cdot b_c\) , поэтому \(c = \dfrac{b^2}{b_c} = \dfrac{144}{6} = 24\) .
\(a_c = c - b_c = 24 - 6 = 18\) .\(a = \sqrt{c \cdot a_c} = \sqrt{24 \cdot 18} = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3}\) .
Ответ
a = 12√3, c = 24, aс = 18
Задача 4
Условие (кратко)
В тех же обозначениях найти b, c и bс, если a = 8, aс = 4.
Решение
Дано \(a = BC = 8\) \(a_c = HB = 4\)
\(a^2 = c \cdot a_c\) , поэтому \(c = \dfrac{a^2}{a_c} = \dfrac{64}{4} = 16\) .\(b_c = c - a_c = 16 - 4 = 12\) .\(b = \sqrt{c \cdot b_c} = \sqrt{16 \cdot 12} = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}\) .
Ответ
b = 8√3, c = 16, bс = 12
Задача 5
Условие (кратко)
В тех же обозначениях найти h, b, aс и bс, если a = 6, c = 9.
Решение
Дано \(a = BC = 6\) \(c = AB = 9\)
\(a^2 = c \cdot a_c\) , поэтому \(a_c = \dfrac{36}{9} = 4\) .\(b_c = c - a_c = 9 - 4 = 5\) .\(b = \sqrt{c \cdot b_c} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\) .\(h = \sqrt{a_c \cdot b_c} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\) .
Ответ
h = 2√5, b = 3√5, aс = 4, bс = 5
Похожие задачи для тренировки
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-8-atanasyan/p71/upr-678/