Задача 1
Условие (кратко)
В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°, CH — высота) выразить отрезки гипотенузы aс = HB и bс = AH через катеты a, b и гипотенузу c.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(\angle C = 90^\circ\)
- \(CH \perp AB\)
- \(BC = a\)
- \(CA = b\)
- \(AB = c\)
Найти
- \(a_c = HB\) и \(b_c = AH\)
- Треугольники \(ABC\) и \(CBH\) подобны по двум углам: \(\angle B\) общий, \(\angle ACB = \angle CHB = 90^\circ\). Отсюда \(\dfrac{AB}{CB} = \dfrac{CB}{HB}\), то есть \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{a}{a_c}\), и \(a^2 = c \cdot a_c\).
- Значит, \(a_c = \dfrac{a^2}{c}\).
- Так же из подобия треугольников \(ABC\) и \(ACH\) (\(\angle A\) общий): \(b^2 = c \cdot b_c\), откуда \(b_c = \dfrac{b^2}{c}\).
Ответ
aс = a²/c, bс = b²/c
Почему так
Катет — среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции, a² = c · aс.
Подробнее — в теме «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике».