Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 71

Упражнение 680 к § 71

Задача 1

Условие (кратко)

Доказать, что в прямоугольном треугольнике ABC с катетами a, b, гипотенузой c и высотой h к гипотенузе h = ab/c.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $\angle C = 90^\circ$ , $$BC = a$$ , $$CA = b$$ , $$AB = c$$ , $$CH = h$$ — высота. Доказать: $h = \dfrac{ab}{c}$ .

Посчитаем площадь треугольника двумя способами.

Катеты перпендикулярны, поэтому один из них — высота к другому: $S = \dfrac{1}{2}ab$ .
Если основание — гипотенуза, то высота к ней $$h$$ : $S = \dfrac{1}{2}ch$ .
Приравниваем: $\dfrac{1}{2}ab = \dfrac{1}{2}ch$ , откуда $h = \dfrac{ab}{c}$ .

Ответ

Утверждение доказано — h = ab/c.

Почему так

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов и половине произведения гипотенузы на высоту.

Условие (кратко)

Доказать, что в тех же обозначениях a²/aс = b²/bс, где aс и bс — отрезки, на которые высота делит гипотенузу.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $\angle C = 90^\circ$ , $$CH$$ — высота, $$a_c = HB$$ , $$b_c = AH$$ . Доказать: $\dfrac{a^2}{a_c} = \dfrac{b^2}{b_c}$ .

Каждый катет — среднее пропорциональное гипотенузы и прилежащего к нему отрезка (задача 679): $a^2 = c \cdot a_c$ , $b^2 = c \cdot b_c$ .
Делим: $\dfrac{a^2}{a_c} = c$ и $\dfrac{b^2}{b_c} = c$ .
Обе дроби равны $$c$$ , значит, равны между собой.

Ответ

Утверждение доказано — обе дроби равны гипотенузе c.

Почему так

Из a² = c · aс и b² = c · bс обе дроби равны гипотенузе.