Задача 1
Условие (кратко)
Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, гипотенуза 50 мм. Найти отрезки, на которые гипотенуза делится высотой из вершины прямого угла.
Решение
Дано
- \(a : b = 3 : 4\)
- \(c = 50\) мм
Найти
- \(a_c\) и \(b_c\)
- Пусть \(a = 3x\), \(b = 4x\). По теореме Пифагора \(9x^2 + 16x^2 = 50^2\), \(25x^2 = 2500\), \(x = 10\). Катеты \(a = 30\) мм, \(b = 40\) мм.
- Катет — среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции: \(a^2 = c \cdot a_c\), поэтому \(a_c = \dfrac{30^2}{50} = 18\) мм.
- \(b_c = \dfrac{40^2}{50} = 32\) мм. Проверка: \(18 + 32 = 50\).
Ответ
32 мм и 18 мм
Почему так
По отношению катетов и теореме Пифагора находят катеты, затем проекции — из a² = c · aс.
Подробнее — в теме «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике».