Задача 1
Условие (кратко)
С помощью утверждения 2⁰ п. 71 (катет — среднее пропорциональное) доказать теорему Пифагора — AC² + BC² = AB² в треугольнике ABC с прямым углом C.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\). Доказать: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\).
- Проведём высоту \(CD\) к гипотенузе. Точка \(D\) лежит на отрезке \(AB\), поэтому \(AD + DB = AB\).
- Катет \(AC\) — среднее пропорциональное гипотенузы и отрезка \(AD\): \(AC = \sqrt{AD \cdot AB}\), то есть \(AC^2 = AD \cdot AB\).
- Так же для катета \(BC\): \(BC^2 = BD \cdot AB\).
- Складываем: \(AC^2 + BC^2 = AD \cdot AB + BD \cdot AB = (AD + BD) \cdot AB = AB \cdot AB = AB^2\).
Ответ
Теорема Пифагора доказана — AC² + BC² = AB².
Почему так
Сумма квадратов катетов равна гипотенузе, умноженной на сумму проекций, то есть на саму гипотенузу.
Подробнее — в теме «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике».