Задача 1
Условие (кратко)
Разделить данный отрезок AB на два отрезка AX и XB, пропорциональные данным отрезкам P₁Q₁ и P₂Q₂.
Решение
Дано: отрезки \(AB\), \(P_1Q_1\), \(P_2Q_2\). Построить: точку \(X\) на \(AB\), для которой \(\dfrac{AX}{XB} = \dfrac{P_1Q_1}{P_2Q_2}\).
Построение.
- Проведём из точки \(A\) любой луч \(AM\), не лежащий на прямой \(AB\).
- Циркулем отложим на луче \(AM\) подряд отрезки \(AC = P_1Q_1\) и \(CD = P_2Q_2\).
- Проведём прямую \(BD\).
- Через точку \(C\) проведём прямую, параллельную \(BD\). Она пересечёт отрезок \(AB\) в точке \(X\) — это искомая точка.
Почему верно. Стороны угла \(A\) пересечены параллельными прямыми \(CX\) и \(DB\), поэтому они отсекают на сторонах пропорциональные отрезки (задача 663): \(\dfrac{AX}{XB} = \dfrac{AC}{CD} = \dfrac{P_1Q_1}{P_2Q_2}\). Это видно и из подобия треугольников \(AXC\) и \(ABD\) (угол \(A\) общий, \(\angle ACX = \angle ADB\) как соответственные).
Ответ
Точка X построена — AX : XB = P₁Q₁ : P₂Q₂.
Почему так
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки.
Подробнее — в теме «Подобие в задачах на построение и измерение».