Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 72

Упражнение 691 к § 72

§ 72. Метод подобия в задачах на построение · тема: Подобие в задачах на построение и измерение

Задача 1

Условие (кратко)

Начертить отрезок AB и разделить его в отношении 2 : 5.

Решение

Дано: отрезок $$AB$$ . Построить: точку $$X$$ на $$AB$$ , для которой $$AX : XB = 2 : 5$$ .

Проведём из $$A$$ луч $$AM$$ , не лежащий на прямой $$AB$$ .
Возьмём любой отрезок $$e$$ (например, 1 см) и отложим его на луче $$AM$$ подряд $$2 + 5 = 7$$ раз. Получим точки $C_1, C_2, \ldots, C_7$ .
Проведём прямую $$C_7B$$ .
Через точку $$C_2$$ проведём прямую, параллельную $$C_7B$$ . Она пересечёт $$AB$$ в искомой точке $$X$$ .

Почему верно. Параллельные прямые $$C_2X$$ и $$C_7B$$ отсекают на сторонах угла $$A$$ пропорциональные отрезки, поэтому $$AX : XB = AC_2 : C_2C_7 = 2e : 5e = 2 : 5$$ .

Ответ

Точка X делит AB в отношении 2 : 5.

Почему так

Как в задаче 690, только отложенные на луче отрезки — 2 и 5 одинаковых «частей».

Подробнее — в теме «Подобие в задачах на построение и измерение».

Задача 2

Условие (кратко)

Начертить отрезок AB и разделить его в отношении 3 : 7.

Решение

Дано: отрезок $$AB$$ . Построить: точку $$X$$ на $$AB$$ , для которой $$AX : XB = 3 : 7$$ .

Проведём из $$A$$ луч $$AM$$ , не лежащий на прямой $$AB$$ .
Отложим на нём подряд $$3 + 7 = 10$$ равных отрезков произвольной длины $$e$$ , получим точки $C_1, \ldots, C_{10}$ .
Проведём прямую $C_{10}B$ , а через точку $$C_3$$ — прямую, параллельную $C_{10}B$ . Она пересечёт $$AB$$ в искомой точке $$X$$ .

Почему верно. $AX : XB = AC_3 : C_3C_{10} = 3e : 7e = 3 : 7$ , так как параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Ответ

Точка X делит AB в отношении 3 : 7.

Почему так

Отрезок делят на 10 равных частей и берут точку после третьей части.

Подробнее — в теме «Подобие в задачах на построение и измерение».

Задача 3

Условие (кратко)

Начертить отрезок AB и разделить его в отношении 4 : 3.

Решение

Дано: отрезок $$AB$$ . Построить: точку $$X$$ на $$AB$$ , для которой $$AX : XB = 4 : 3$$ .

Проведём из $$A$$ луч $$AM$$ , не лежащий на прямой $$AB$$ .
Отложим на нём подряд $$4 + 3 = 7$$ равных отрезков произвольной длины $$e$$ , получим точки $C_1, \ldots, C_7$ .
Проведём прямую $$C_7B$$ , а через точку $$C_4$$ — прямую, параллельную $$C_7B$$ . Она пересечёт $$AB$$ в искомой точке $$X$$ .

Почему верно. $$AX : XB = AC_4 : C_4C_7 = 4e : 3e = 4 : 3$$ . Точка $$X$$ окажется ближе к $$B$$ , чем к $$A$$ , — так и должно быть, ведь первая часть больше.

Ответ

Точка X делит AB в отношении 4 : 3.

Почему так

Отрезок делят на 7 равных частей и берут точку после четвёртой части, считая от A.

Подробнее — в теме «Подобие в задачах на построение и измерение».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки