Задача 1
Построить треугольник по двум углам и биссектрисе, проведённой из вершины меньшего из данных углов.
Решение
Дано: углы \(\alpha\) и \(\beta\), \(\alpha \le \beta\), \(\alpha + \beta < 180^\circ\); отрезок \(l\). Построить: \(\triangle ABC\), у которого \(\angle A = \alpha\), \(\angle B = \beta\) и биссектриса \(AD = l\).
Построение (метод подобия).
- Строим какой-нибудь треугольник, подобный искомому: от произвольного отрезка \(AB_1\) откладываем при вершине \(A\) угол \(\alpha\), при вершине \(B_1\) угол \(\beta\); стороны углов пересекутся в точке \(C_1\).
- Строим биссектрису угла \(A\) и откладываем на ней отрезок \(AD = l\).
- Через точку \(D\) проводим прямую, параллельную \(B_1C_1\). Она пересечёт лучи \(AB_1\) и \(AC_1\) в точках \(B\) и \(C\). Треугольник \(ABC\) — искомый.
Почему верно. \(BC \parallel B_1C_1\), поэтому \(\angle B = \angle B_1 = \beta\) (соответственные углы), \(\angle A = \alpha\). Точка \(D\) лежит на стороне \(BC\) и на биссектрисе угла \(A\), значит, \(AD\) — биссектриса треугольника \(ABC\), и \(AD = l\).
Задача имеет решение, если \(\alpha + \beta < 180^\circ\), и оно единственное: все треугольники с такими углами и биссектрисой равны.
Ответ
Метод подобия — сначала строят треугольник нужной формы по углам, затем «растягивают» его до нужного размера параллельной прямой.
Подробнее — в теме «Подобие в задачах на построение и измерение».