Задача 1
Условие (кратко)
Построить треугольник по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла.
Решение
Дано: углы \(\alpha\) и \(\beta\), \(\alpha + \beta < 180^\circ\); отрезок \(h\). Построить: \(\triangle ABC\), у которого \(\angle A = \alpha\), \(\angle B = \beta\) и высота \(CH = h\).
Построение.
- Строим треугольник \(A_1B_1C\), подобный искомому: на произвольном отрезке \(A_1B_1\) строим углы \(\alpha\) при \(A_1\) и \(\beta\) при \(B_1\); стороны пересекутся в точке \(C\).
- Из точки \(C\) проводим перпендикуляр к прямой \(A_1B_1\) и на луче этого перпендикуляра (от \(C\) в сторону \(A_1B_1\)) откладываем \(CH = h\).
- Через точку \(H\) проводим прямую, перпендикулярную \(CH\) (она параллельна \(A_1B_1\)). Она пересечёт прямые \(CA_1\) и \(CB_1\) в точках \(A\) и \(B\). Треугольник \(ABC\) — искомый.
Почему верно. \(AB \parallel A_1B_1\), поэтому \(\angle A = \angle A_1 = \alpha\), \(\angle B = \angle B_1 = \beta\) (соответственные углы). \(CH \perp AB\) и \(H\) лежит на \(AB\), значит, \(CH\) — высота треугольника \(ABC\), и \(CH = h\).
Ответ
Треугольник ABC построен — два угла равны данным, высота CH равна данному отрезку.
Почему так
Треугольник, подобный искомому, строят по двум углам, а нужный размер задаёт отложенная высота.
Подробнее — в теме «Подобие в задачах на построение и измерение».