Задача 1
Условие (кратко)
Построить треугольник ABC по углу A и медиане AM, если AB : AC = 2 : 3.
Решение
Дано: угол \(\alpha\), отрезок \(m\), \(AB : AC = 2 : 3\). Построить: \(\triangle ABC\) с \(\angle A = \alpha\), медианой \(AM = m\) и \(AB : AC = 2 : 3\).
Построение.
- Строим угол \(A\), равный \(\alpha\). Возьмём любой отрезок \(e\) и отложим на одной стороне угла \(AB_1 = 2e\), на другой \(AC_1 = 3e\). Треугольник \(AB_1C_1\) подобен искомому по второму признаку (угол \(A\) общий, стороны пропорциональны \(2 : 3\)).
- Находим середину \(M_1\) отрезка \(B_1C_1\), проводим луч \(AM_1\) и откладываем на нём \(AM = m\).
- Через точку \(M\) проводим прямую, параллельную \(B_1C_1\). Она пересечёт стороны угла в точках \(B\) и \(C\). Треугольник \(ABC\) — искомый.
Почему верно.
- \(BC \parallel B_1C_1\), поэтому \(\triangle ABC \sim \triangle AB_1C_1\) (угол \(A\) общий, соответственные углы равны) и \(AB : AC = AB_1 : AC_1 = 2 : 3\).
- Так же \(\triangle ABM \sim \triangle AB_1M_1\) и \(\triangle ACM \sim \triangle AC_1M_1\), откуда \(\dfrac{BM}{B_1M_1} = \dfrac{AM}{AM_1} = \dfrac{CM}{C_1M_1}\). Так как \(B_1M_1 = C_1M_1\), то \(BM = CM\): \(AM\) — медиана, и \(AM = m\).
Ответ
Треугольник ABC построен — ∠A равен данному, AB : AC = 2 : 3, медиана AM равна данному отрезку.
Почему так
Треугольник нужной формы строят по углу и отношению сторон (второй признак подобия), а размер подгоняют по медиане.
Подробнее — в теме «Подобие в задачах на построение и измерение».