Задача 1
Условие (кратко)
Построить треугольник ABC по углу A и стороне BC, если AB : AC = 2 : 1.
Решение
Дано: угол \(\alpha\), отрезок \(a\), \(AB : AC = 2 : 1\). Построить: \(\triangle ABC\) с \(\angle A = \alpha\), \(BC = a\) и \(AB : AC = 2 : 1\).
Построение.
- Строим угол \(\alpha\) с вершиной \(A_1\). На его сторонах от \(A_1\) откладываем \(A_1B = 2e\) и \(A_1C_1 = e\) (\(e\) — любой отрезок). Треугольник \(A_1BC_1\) подобен искомому по второму признаку.
- На луче \(BC_1\) от точки \(B\) откладываем отрезок \(BC = a\).
- Через точку \(C\) проводим прямую, параллельную \(A_1C_1\). Она пересечёт прямую \(BA_1\) в точке \(A\). Треугольник \(ABC\) — искомый.
Почему верно. \(AC \parallel A_1C_1\), поэтому \(\triangle ABC \sim \triangle A_1BC_1\) (угол \(B\) общий, \(\angle BAC = \angle BA_1C_1 = \alpha\) как соответственные). Значит, \(\angle A = \alpha\) и \(AB : AC = A_1B : A_1C_1 = 2 : 1\), а \(BC = a\) по построению.
Ответ
Треугольник ABC построен — ∠A равен данному, BC равна данному отрезку, AB : AC = 2 : 1.
Почему так
Строят треугольник, подобный искомому, а затем от вершины B откладывают нужную сторону BC и проводят параллельную прямую.
Подробнее — в теме «Подобие в задачах на построение и измерение».