Задача 1
Условие (кратко)
Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов, равному отношению двух данных отрезков.
Решение
Дано: отрезок \(c\) (гипотенуза), отрезки \(p\) и \(q\). Построить: прямоугольный \(\triangle ABC\) с \(\angle C = 90^\circ\), \(AB = c\) и \(AC : BC = p : q\).
Построение.
- Строим прямой угол с вершиной \(C_1\) и откладываем на его сторонах \(C_1A = p\) и \(C_1B_1 = q\). Прямоугольный треугольник \(AC_1B_1\) подобен искомому (прямой угол и пропорциональные катеты — второй признак).
- На луче \(AB_1\) от точки \(A\) откладываем отрезок \(AB = c\).
- Через точку \(B\) проводим прямую, параллельную \(B_1C_1\). Она пересечёт прямую \(AC_1\) в точке \(C\). Треугольник \(ABC\) — искомый.
Почему верно. \(BC \parallel B_1C_1\), поэтому \(\angle ACB = \angle AC_1B_1 = 90^\circ\) (соответственные углы) и \(\triangle ABC \sim \triangle AB_1C_1\). Значит, \(AC : BC = AC_1 : B_1C_1 = p : q\), а гипотенуза \(AB = c\) по построению.
Ответ
Прямоугольный треугольник ABC построен — AB равна данной гипотенузе, AC : BC равно отношению данных отрезков.
Почему так
Сначала строят прямоугольный треугольник с катетами, равными данным отрезкам, затем подгоняют его гипотенузу.
Подробнее — в теме «Подобие в задачах на построение и измерение».