Главная Учебники Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.) § 74 Упражнение 697
Задача 1
Условие (кратко)
В треугольнике ABC угол C прямой, BC = 8, AB = 17. Найти синус, косинус и тангенс углов A и B.
Решение
Дано \(\triangle ABC\) \(\angle C = 90^\circ\) \(BC = 8\) \(AB = 17\) Найти \(\sin A\) \(\cos A\) \(\operatorname{tg} A\) \(\sin B\) \(\cos B\) \(\operatorname{tg} B\)
По теореме Пифагора \(AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\) .
Для угла \(A\) противолежащий катет — \(BC\) , прилежащий — \(AC\) : \(\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{8}{17}\) , \(\cos A = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{15}{17}\) , \(\operatorname{tg} A = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{8}{15}\) .
Для угла \(B\) катеты меняются ролями: \(\sin B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{15}{17}\) , \(\cos B = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{8}{17}\) , \(\operatorname{tg} B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{15}{8}\) .
Ответ
sin A = 8/17, cos A = 15/17, tg A = 8/15; sin B = 15/17, cos B = 8/17, tg B = 15/8
Почему так
Синус — противолежащий катет к гипотенузе, косинус — прилежащий к гипотенузе, тангенс — противолежащий к прилежащему; недостающий катет даёт теорема Пифагора.
Подробнее — в теме «Синус, косинус и тангенс острого угла» .
Задача 2
Условие (кратко)
В треугольнике ABC угол C прямой, BC = 21, AC = 20. Найти синус, косинус и тангенс углов A и B.
Решение
Дано \(\triangle ABC\) \(\angle C = 90^\circ\) \(BC = 21\) \(AC = 20\) Найти \(\sin A\) \(\cos A\) \(\operatorname{tg} A\) \(\sin B\) \(\cos B\) \(\operatorname{tg} B\)
По теореме Пифагора \(AB = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29\) .
\(\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{21}{29}\) , \(\cos A = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{20}{29}\) , \(\operatorname{tg} A = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{21}{20}\) .\(\sin B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{20}{29}\) , \(\cos B = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{21}{29}\) , \(\operatorname{tg} B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{20}{21}\) .
Ответ
sin A = 21/29, cos A = 20/29, tg A = 21/20; sin B = 20/29, cos B = 21/29, tg B = 20/21
Задача 3
Условие (кратко)
В треугольнике ABC угол C прямой, BC = 1, AC = 2. Найти синус, косинус и тангенс углов A и B.
Решение
Дано \(\triangle ABC\) \(\angle C = 90^\circ\) \(BC = 1\) \(AC = 2\) Найти \(\sin A\) \(\cos A\) \(\operatorname{tg} A\) \(\sin B\) \(\cos B\) \(\operatorname{tg} B\)
По теореме Пифагора \(AB = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\) .
\(\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\) , \(\cos A = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\) , \(\operatorname{tg} A = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{1}{2}\) .\(\sin B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\) , \(\cos B = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\) , \(\operatorname{tg} B = \dfrac{AC}{BC} = 2\) .
Ответ
sin A = √5/5, cos A = 2√5/5, tg A = 1/2; sin B = 2√5/5, cos B = √5/5, tg B = 2
Задача 4
Условие (кратко)
В треугольнике ABC угол C прямой, AC = 24, AB = 25. Найти синус, косинус и тангенс углов A и B.
Решение
Дано \(\triangle ABC\) \(\angle C = 90^\circ\) \(AC = 24\) \(AB = 25\) Найти \(\sin A\) \(\cos A\) \(\operatorname{tg} A\) \(\sin B\) \(\cos B\) \(\operatorname{tg} B\)
По теореме Пифагора \(BC = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7\) .
\(\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{7}{25}\) , \(\cos A = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{24}{25}\) , \(\operatorname{tg} A = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{7}{24}\) .\(\sin B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{24}{25}\) , \(\cos B = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{7}{25}\) , \(\operatorname{tg} B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{24}{7}\) .
Ответ
sin A = 7/25, cos A = 24/25, tg A = 7/24; sin B = 24/25, cos B = 7/25, tg B = 24/7
Похожие задачи для тренировки
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-8-atanasyan/p74/upr-697/