Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 74

Упражнение 698 к § 74

§ 74. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника · тема: Синус, косинус и тангенс острого угла

Задача 1

Условие (кратко)

Построить угол α, тангенс которого равен 1/2.

Решение

Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему. Значит, нужен прямоугольный треугольник с катетами 1 и 2.

Начертим прямой угол с вершиной $$C$$ (чертёжным треугольником или построением перпендикуляра).
Выберем единичный отрезок. На одной стороне отложим $$CA = 2$$ единицы, на другой $$CB = 1$$ единица.
Соединим $$A$$ и $$B$$ . Угол $$BAC$$ — искомый: $\operatorname{tg} \angle BAC = \dfrac{CB}{CA} = \dfrac{1}{2}$ .

Транспортир покажет около $26{,}5^\circ$ .

Ответ

Угол при вершине A прямоугольного треугольника с катетами CB = 1 и CA = 2 (около 26,5°)

Почему так

Угол с данным тангенсом — острый угол прямоугольного треугольника, у которого противолежащий и прилежащий катеты относятся как данное число.

Подробнее — в теме «Синус, косинус и тангенс острого угла».

Задача 2

Условие (кратко)

Построить угол α, тангенс которого равен 3/4.

Решение

Нужен прямоугольный треугольник, у которого противолежащий катет относится к прилежащему как $$3 : 4$$ .

Начертим прямой угол с вершиной $$C$$ .
На одной стороне отложим $$CA = 4$$ единицы, на другой $$CB = 3$$ единицы.
Соединим $$A$$ и $$B$$ . Угол $$BAC$$ — искомый: $\operatorname{tg} \angle BAC = \dfrac{CB}{CA} = \dfrac{3}{4}$ .

Гипотенуза получится равной 5 единицам (египетский треугольник), транспортир покажет около $37^\circ$ .

Ответ

Угол при вершине A прямоугольного треугольника с катетами CB = 3 и CA = 4 (около 37°)

Почему так

Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему, поэтому строим катеты 3 и 4 единицы.

Подробнее — в теме «Синус, косинус и тангенс острого угла».

Задача 3

Условие (кратко)

Построить угол α, косинус которого равен 0,2.

Решение

$\cos \alpha = 0{,}2 = \dfrac{1}{5}$ : прилежащий катет в 5 раз короче гипотенузы.

Начертим прямой угол с вершиной $$C$$ , на одной его стороне отложим $$CA = 1$$ единицу.
Из точки $$A$$ радиусом 5 единиц проведём дугу до пересечения с другой стороной прямого угла в точке $$B$$ . Тогда $$AB = 5$$ .
Угол $$BAC$$ — искомый: $\cos \angle BAC = \dfrac{CA}{AB} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$ .

Транспортир покажет около $78{,}5^\circ$ .

Ответ

Угол при вершине A прямоугольного треугольника с катетом CA = 1 и гипотенузой AB = 5 (около 78,5°)

Почему так

Косинус — прилежащий катет к гипотенузе; гипотенузу нужной длины откладываем циркулем от конца катета.

Подробнее — в теме «Синус, косинус и тангенс острого угла».

Задача 4

Условие (кратко)

Построить угол α, косинус которого равен 2/3.

Решение

Прилежащий катет должен составлять $\dfrac{2}{3}$ гипотенузы.

Начертим прямой угол с вершиной $$C$$ , на одной стороне отложим $$CA = 2$$ единицы.
Из точки $$A$$ радиусом 3 единицы проведём дугу до пересечения с другой стороной угла в точке $$B$$ ; $$AB = 3$$ .
Угол $$BAC$$ — искомый: $\cos \angle BAC = \dfrac{CA}{AB} = \dfrac{2}{3}$ .

Транспортир покажет около $48^\circ$ .

Ответ

Угол при вершине A прямоугольного треугольника с катетом CA = 2 и гипотенузой AB = 3 (около 48°)

Почему так

Косинус — прилежащий катет к гипотенузе, поэтому строим катет 2 и гипотенузу 3 единицы.

Подробнее — в теме «Синус, косинус и тангенс острого угла».

Задача 5

Условие (кратко)

Построить угол α, синус которого равен 1/2.

Решение

Синус — противолежащий катет к гипотенузе, значит, катет против угла $\alpha$ должен быть вдвое короче гипотенузы.

Начертим прямой угол с вершиной $$C$$ , на одной стороне отложим $$CB = 1$$ единицу.
Из точки $$B$$ радиусом 2 единицы проведём дугу до пересечения с другой стороной угла в точке $$A$$ ; $$AB = 2$$ .
Угол $$BAC$$ — искомый: $\sin \angle BAC = \dfrac{CB}{AB} = \dfrac{1}{2}$ .

Катет $$CB$$ равен половине гипотенузы, поэтому $\angle BAC = 30^\circ$ .

Ответ

Угол при вершине A прямоугольного треугольника с катетом CB = 1 и гипотенузой AB = 2; это угол 30°

Почему так

Катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла 30°, так что sin 30° = 1/2.

Подробнее — в теме «Синус, косинус и тангенс острого угла».

Задача 6

Условие (кратко)

Построить угол α, синус которого равен 0,4.

Решение

$\sin \alpha = 0{,}4 = \dfrac{2}{5}$ : противолежащий катет — 2 единицы, гипотенуза — 5.

Начертим прямой угол с вершиной $$C$$ , на одной стороне отложим $$CB = 2$$ единицы.
Из точки $$B$$ радиусом 5 единиц проведём дугу до пересечения с другой стороной угла в точке $$A$$ ; $$AB = 5$$ .
Угол $$BAC$$ — искомый: $\sin \angle BAC = \dfrac{CB}{AB} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$ .

Транспортир покажет около $23{,}5^\circ$ .

Ответ

Угол при вершине A прямоугольного треугольника с катетом CB = 2 и гипотенузой AB = 5 (около 23,5°)

Почему так

Синус — противолежащий катет к гипотенузе, поэтому строим катет 2 и гипотенузу 5 единиц.

Подробнее — в теме «Синус, косинус и тангенс острого угла».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки