Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 74

Упражнение 699 к § 74

§ 74. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника · тема: Синус, косинус и тангенс острого угла

Задача 1

Условие (кратко)

Найти sin α и tg α, если cos α = 1/2.

Решение

Дано

$\cos \alpha = \dfrac{1}{2}$
$\alpha$ — острый угол

Найти

$\sin \alpha$
$\operatorname{tg} \alpha$

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ . Синус острого угла положителен, поэтому $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .
$\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} : \dfrac{1}{2} = \sqrt{3}$ .

Ответ

sin α = √3/2, tg α = √3

Почему так

Синус находим из тождества sin²α + cos²α = 1, тангенс — как отношение синуса к косинусу.

Подробнее — в теме «Синус, косинус и тангенс острого угла».

Задача 2

Условие (кратко)

Найти sin α и tg α, если cos α = 2/3.

Решение

Дано

$\cos \alpha = \dfrac{2}{3}$
$\alpha$ — острый угол

Найти

$\sin \alpha$
$\operatorname{tg} \alpha$

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}$ , $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$ .
$\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{\sqrt{5}}{3} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$ .

Ответ

sin α = √5/3, tg α = √5/2

Почему так

Основное тригонометрическое тождество даёт синус, а тангенс равен синусу, делённому на косинус.

Подробнее — в теме «Синус, косинус и тангенс острого угла».

Задача 3

Условие (кратко)

Найти cos α и tg α, если sin α = √3/2.

Решение

Дано

$\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\alpha$ — острый угол

Найти

$\cos \alpha$
$\operatorname{tg} \alpha$

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$ , косинус острого угла положителен, $\cos \alpha = \dfrac{1}{2}$ .
$\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2} : \dfrac{1}{2} = \sqrt{3}$ .

Ответ

cos α = 1/2, tg α = √3

Почему так

Косинус находим из тождества sin²α + cos²α = 1, тангенс — как отношение синуса к косинусу.

Подробнее — в теме «Синус, косинус и тангенс острого угла».

Задача 4

Условие (кратко)

Найти cos α и tg α, если sin α = 1/4.

Решение

Дано

$\sin \alpha = \dfrac{1}{4}$
$\alpha$ — острый угол

Найти

$\cos \alpha$
$\operatorname{tg} \alpha$

$\cos^2 \alpha = 1 - \dfrac{1}{16} = \dfrac{15}{16}$ , $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$ .
$\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{1}{4} : \dfrac{\sqrt{15}}{4} = \dfrac{1}{\sqrt{15}} = \dfrac{\sqrt{15}}{15}$ .

Ответ

cos α = √15/4, tg α = √15/15

Почему так

Тождество sin²α + cos²α = 1 даёт косинус, тангенс равен sin α / cos α; иррациональность из знаменателя убираем.

Подробнее — в теме «Синус, косинус и тангенс острого угла».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки