Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 74

Упражнение 700 к § 74

Задача 1

Условие (кратко)

В прямоугольном треугольнике катет равен b, противолежащий ему угол β. Выразить через b и β другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу.

Решение

Дано

Найти

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$ , поэтому $\angle A = 90^\circ - \beta$ .
Для угла $$B$$ катет $$AC$$ противолежащий, $$BC$$ — прилежащий: $\operatorname{tg} \beta = \dfrac{AC}{BC}$ , откуда $BC = \dfrac{b}{\operatorname{tg} \beta}$ .
$\sin \beta = \dfrac{AC}{AB}$ , откуда $AB = \dfrac{b}{\sin \beta}$ .

Ответ

Другой катет b/tg β, угол 90° − β, гипотенуза b/sin β

Почему так

Известный катет — противолежащий углу β, поэтому другой катет выражаем через тангенс, гипотенузу — через синус.

Условие (кратко)

В прямоугольном треугольнике катет b = 10 см, противолежащий ему угол β = 50°. Найти другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу.

Решение

Дано

Найти

По формулам из пункта а), значения синуса и тангенса — по калькулятору или таблице:

$\angle A = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$ .
$BC = \dfrac{b}{\operatorname{tg} 50^\circ} \approx \dfrac{10}{1{,}1918} \approx 8{,}39$ см.
$AB = \dfrac{b}{\sin 50^\circ} \approx \dfrac{10}{0{,}7660} \approx 13{,}05$ см.

Ответ

≈ 8,39 см, 40°, ≈ 13,05 см

Почему так

Подставляем b = 10 см и β = 50° в формулы b/tg β, 90° − β, b/sin β.