Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 74

Упражнение 701 к § 74

Задача 1

Условие (кратко)

В прямоугольном треугольнике катет равен b, прилежащий к нему угол α. Выразить через b и α второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу.

Решение

Дано

Найти

Второй катет $$BC$$ прилежит к углу $$B$$ , а $\angle B = 90^\circ - \alpha$ .
Для угла $$A$$ катет $$BC$$ противолежащий: $\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{BC}{AC}$ , откуда $BC = b \operatorname{tg} \alpha$ .
$\cos \alpha = \dfrac{AC}{AB}$ , откуда $AB = \dfrac{b}{\cos \alpha}$ .

Ответ

Второй катет b·tg α, угол 90° − α, гипотенуза b/cos α

Почему так

Известный катет прилежит к углу α, поэтому второй катет выражаем через тангенс, гипотенузу — через косинус.

Условие (кратко)

В прямоугольном треугольнике катет b = 12 см, прилежащий к нему угол α = 42°. Найти второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу.

Решение

Дано

Найти

$BC = b \operatorname{tg} 42^\circ \approx 12 \cdot 0{,}9004 \approx 10{,}8$ см.
$\angle B = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$ .
$AB = \dfrac{b}{\cos 42^\circ} \approx \dfrac{12}{0{,}7431} \approx 16{,}1$ см.

Округлив до сантиметров, получим $\approx 11$ см и $\approx 16$ см, как в ответах учебника.

Ответ

≈ 10,8 см (≈ 11 см), 48°, ≈ 16,1 см (≈ 16 см)

Почему так

Подставляем b = 12 см и α = 42° в формулы b·tg α, 90° − α, b/cos α.