Задача 1
Условие (кратко)
В прямоугольном треугольнике гипотенуза c, острый угол α. Выразить через c и α второй острый угол и катеты; найти их при c = 24 см, α = 35°.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(\angle C = 90^\circ\)
- \(AB = c\)
- \(\angle A = \alpha\); \(c = 24\) см
- \(\alpha = 35^\circ\)
Найти
- \(\angle B\)
- \(BC\)
- \(AC\)
- \(\angle B = 90^\circ - \alpha\).
- \(\sin \alpha = \dfrac{BC}{AB}\), поэтому \(BC = c \sin \alpha\) (катет против угла \(\alpha\)).
- \(\cos \alpha = \dfrac{AC}{AB}\), поэтому \(AC = c \cos \alpha\) (катет, прилежащий к углу \(\alpha\)).
- При \(c = 24\) см, \(\alpha = 35^\circ\): \(\angle B = 55^\circ\), \(BC \approx 24 \cdot 0{,}5736 \approx 13{,}8\) см, \(AC \approx 24 \cdot 0{,}8192 \approx 19{,}7\) см.
Округлив до сантиметров, получим \(\approx 14\) см и \(\approx 20\) см, как в ответах учебника.
Ответ
90° − α, c·sin α, c·cos α; 55°, ≈ 13,8 см (≈ 14 см), ≈ 19,7 см (≈ 20 см)
Почему так
Катет против угла α равен гипотенузе, умноженной на sin α, прилежащий катет — гипотенузе, умноженной на cos α.
Подробнее — в теме «Синус, косинус и тангенс острого угла».