Задача 1
Условие (кратко)
Катеты прямоугольного треугольника равны a и b. Выразить через a и b гипотенузу и тангенсы острых углов, найти их при a = 12, b = 15.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(\angle C = 90^\circ\)
- \(BC = a\)
- \(AC = b\)
- \(\angle A = \alpha\)
- \(\angle B = \beta\); \(a = 12\)
- \(b = 15\)
Найти
- \(AB\)
- \(\operatorname{tg} \alpha\)
- \(\operatorname{tg} \beta\)
- По теореме Пифагора \(AB = \sqrt{a^2 + b^2}\).
- Для угла \(\alpha\) катет \(a\) противолежащий, \(b\) — прилежащий: \(\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{a}{b}\). Для угла \(\beta\) наоборот: \(\operatorname{tg} \beta = \dfrac{b}{a}\).
- При \(a = 12\), \(b = 15\): \(AB = \sqrt{144 + 225} = \sqrt{369} = 3\sqrt{41} \approx 19{,}2\); \(\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{12}{15} = 0{,}8\); \(\operatorname{tg} \beta = \dfrac{15}{12} = 1{,}25\).
- По таблице или калькулятору угол с тангенсом \(0{,}8\) равен примерно \(38^\circ 40'\) (\(\approx 38{,}66^\circ\)), тогда \(\beta = 90^\circ - \alpha \approx 51^\circ 20'\). В ответах учебника указано \(38^\circ 39'\) и \(51^\circ 21'\): точное значение \(\alpha = 38^\circ 39{,}6'\), там доли минуты отброшены, а не округлены.
Ответ
√(a² + b²), tg α = a/b, tg β = b/a; 3√41 ≈ 19,2, tg α = 0,8, tg β = 1,25 (α ≈ 38°40′, β ≈ 51°20′)
Почему так
Гипотенуза — по теореме Пифагора, тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.
Подробнее — в теме «Синус, косинус и тангенс острого угла».