Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 74

Упражнение 704 к § 74

Задача 1

Условие (кратко)

Найти площадь равнобедренного треугольника с углом α при основании, если боковая сторона равна b.

Решение

Дано

Найти

Проведём высоту $$BH$$ к основанию. В равнобедренном треугольнике она же медиана, $$AH = HC$$ .
В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ гипотенуза $$AB = b$$ : $BH = b \sin \alpha$ , $AH = b \cos \alpha$ .
Основание $AC = 2AH = 2b \cos \alpha$ .
$S = \dfrac{1}{2} AC \cdot BH = \dfrac{1}{2} \cdot 2b \cos \alpha \cdot b \sin \alpha = b^2 \sin \alpha \cos \alpha$ .

Ответ

S = b² sin α cos α

Почему так

Высота к основанию делит треугольник на два прямоугольных; высоту и половину основания выражаем через синус и косинус.

Условие (кратко)

Найти площадь равнобедренного треугольника с углом α при основании, если основание равно a.

Решение

Дано

Найти

Высота $$BH$$ к основанию делит его пополам: $AH = \dfrac{a}{2}$ .
В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ : $\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{BH}{AH}$ , поэтому $BH = \dfrac{a}{2} \operatorname{tg} \alpha$ .
$S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{a}{2} \operatorname{tg} \alpha = \dfrac{1}{4} a^2 \operatorname{tg} \alpha$ .

Ответ

S = (1/4)·a² tg α

Почему так

Высота к основанию равна половине основания, умноженной на тангенс угла при основании.