Задача 1
Условие (кратко)
Найти площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2 см и 6 см, если угол при большем основании равен α.
Решение
Дано
- \(ABCD\) — равнобедренная трапеция
- \(BC = 2\) см
- \(AD = 6\) см
- \(\angle A = \angle D = \alpha\)
Найти
- \(S_{ABCD}\)
- Опустим высоты \(BH\) и \(CK\) на \(AD\). \(HK = BC = 2\) см, а отрезки \(AH\) и \(KD\) равны (прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(DCK\) равны по гипотенузе и острому углу): \(AH = \dfrac{6 - 2}{2} = 2\) см.
- В прямоугольном треугольнике \(ABH\): \(\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{BH}{AH}\), \(BH = 2 \operatorname{tg} \alpha\) см.
- \(S = \dfrac{BC + AD}{2} \cdot BH = \dfrac{2 + 6}{2} \cdot 2 \operatorname{tg} \alpha = 8 \operatorname{tg} \alpha\) см².
Ответ
8 tg α см²
Почему так
Высота трапеции — катет прямоугольного треугольника с прилежащим катетом 2 см, она равна 2 tg α.
Подробнее — в теме «Синус, косинус и тангенс острого угла».