Задача 1
Условие (кратко)
Насыпь дороги имеет вверху ширину 60 м, высоту 12 м, откосы наклонены под углом 60° (рисунок — равнобедренная трапеция). Найти ширину насыпи внизу.
Решение
Дано
- сечение насыпи — равнобедренная трапеция \(ABCD\)
- верхнее основание \(BC = 60\) м
- высота \(h = 12\) м
- \(\angle A = \angle D = 60^\circ\)
Найти
- \(AD\)
- Опустим высоты \(BH\) и \(CK\) на нижнее основание. \(HK = BC = 60\) м, \(AH = KD\) (откосы одинаковые).
- В прямоугольном треугольнике \(ABH\): \(\operatorname{tg} 60^\circ = \dfrac{BH}{AH}\), поэтому \(AH = \dfrac{12}{\operatorname{tg} 60^\circ} = \dfrac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\) м.
- \(AD = AH + HK + KD = 60 + 2 \cdot 4\sqrt{3} = 60 + 8\sqrt{3} \approx 60 + 13{,}9 = 73{,}9\) м.
Ответ
60 + 8√3 ≈ 74 м
Почему так
Каждый откос добавляет к ширине катет, прилежащий к углу 60°; он равен высоте, делённой на tg 60° = √3.
Подробнее — в теме «Синус, косинус и тангенс острого угла».