Задача 1
Условие (кратко)
Найти углы ромба с диагоналями 2√3 и 2.
Решение
Дано
- \(ABCD\) — ромб
- \(AC = 2\sqrt{3}\)
- \(BD = 2\)
- \(O\) — точка пересечения диагоналей
Найти
- углы ромба
- Диагонали ромба перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и являются биссектрисами его углов. Значит, \(\triangle AOB\) прямоугольный, \(AO = \sqrt{3}\), \(BO = 1\).
- \(\operatorname{tg} \angle BAO = \dfrac{BO}{AO} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\), поэтому \(\angle BAO = 30^\circ\).
- \(\angle A = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\), \(\angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Противоположные углы ромба равны: \(\angle C = 60^\circ\), \(\angle D = 120^\circ\).
Ответ
60°, 120°, 60°, 120°
Почему так
Половины диагоналей — катеты прямоугольного треугольника; тангенс √3/3 соответствует углу 30°, а угол ромба вдвое больше.
Подробнее — в теме «Синус, косинус и тангенс острого угла».