Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 76

Упражнение 737 к § 76

Задача 1

Условие (кратко)

Начертите прямую a и точку O вне её. Постройте окружность с центром O, не имеющую с прямой a общих точек.

Решение

С помощью чертёжного угольника опустите из точки $$O$$ перпендикуляр $$OH$$ на прямую $$a$$ и измерьте его длину $$d = OH$$ .
Раствором циркуля, меньшим $$OH$$ , проведите окружность с центром $$O$$ (например, радиусом $r = \dfrac{d}{2}$ ).

Расстояние от центра до прямой больше радиуса, $$d > r$$ , поэтому общих точек нет.

Ответ

Окружность с центром O радиусом меньше OH

Почему так

Прямая и окружность не имеют общих точек, если расстояние от центра до прямой больше радиуса.

Условие (кратко)

Начертите прямую a и точку O вне её. Постройте окружность с центром O, пересекающую прямую a в двух точках.

Решение

Опустите из $$O$$ перпендикуляр $$OH$$ на прямую $$a$$ .
Проведите окружность с центром $$O$$ радиусом, большим $$OH$$ (например, $r = 2 \cdot OH$ ).

Теперь $$d = OH < r$$ , и окружность пересекает прямую в двух точках, симметричных относительно $$H$$ .

Ответ

Окружность с центром O радиусом больше OH

Почему так

При d < r прямая является секущей и имеет с окружностью две общие точки.

Условие (кратко)

Начертите прямую a и точку O вне её. Постройте окружность с центром O, касающуюся прямой a.

Решение

Опустите из $$O$$ перпендикуляр $$OH$$ на прямую $$a$$ .
Поставьте иглу циркуля в $$O$$ , грифель — в $$H$$ и проведите окружность радиусом $$r = OH$$ .

Расстояние от центра до прямой равно радиусу, поэтому прямая касается окружности в точке $$H$$ .

Ответ

Окружность с центром O радиусом OH, точка касания H

Почему так

Прямая касается окружности, когда расстояние от центра до прямой равно радиусу.