Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 76

Упражнение 741 к § 76

Задача 1

Условие (кратко)

Расстояние от точки A до центра окружности меньше радиуса. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку A, является секущей.

Решение

Дано: окружность с центром $$O$$ и радиусом $$r$$ , $$OA < r$$ , прямая $$p$$ проходит через $$A$$ . Доказать: $$p$$ — секущая.

Пусть $$d$$ — расстояние от $$O$$ до прямой $$p$$ , $$OH$$ — перпендикуляр к $$p$$ .

Если $$H$$ совпадает с $$A$$ , то $$d = OA < r$$ .
Если $$H$$ не совпадает с $$A$$ , то $$OA$$ — наклонная к прямой $$p$$ , а перпендикуляр короче наклонной: $$d = OH < OA < r$$ .
В обоих случаях $$d < r$$ , поэтому прямая $$p$$ имеет с окружностью две общие точки, то есть является секущей.

Ответ

Утверждение доказано: расстояние от центра до прямой не больше OA, то есть меньше r

Почему так

Перпендикуляр не длиннее наклонной, значит d ≤ OA < r, а при d < r прямая — секущая.