Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 76

Упражнение 743 к § 76

Задача 1

Условие (кратко)

Радиус OM окружности с центром O делит хорду AB пополам. Докажите, что касательная, проведённая через точку M, параллельна хорде AB.

Решение

Дано: $$AB$$ — хорда, радиус $$OM$$ проходит через середину $$K$$ хорды $$AB$$ , $$l$$ — касательная в точке $$M$$ . Доказать: $l \parallel AB$ .

Треугольник $$OAB$$ равнобедренный: $$OA = OB$$ как радиусы. $$OK$$ — его медиана, проведённая к основанию, а значит, и высота: $OM \perp AB$ .
По свойству касательной $l \perp OM$ .
Прямые $$l$$ и $$AB$$ перпендикулярны одной прямой $$OM$$ , поэтому они параллельны.

Ответ

Утверждение доказано: касательная и хорда перпендикулярны радиусу OM, значит, параллельны

Почему так

Радиус через середину хорды перпендикулярен ей, касательная перпендикулярна радиусу, а две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.