Задача 1
Прямые MA и MB касаются окружности с центром O в точках A и B. Точка C симметрична точке O относительно точки B. Докажите, что ∠AMC = 3∠BMC.
Решение
Дано: \(MA\), \(MB\) — касательные, \(A\), \(B\) — точки касания, \(B\) — середина \(OC\). Доказать: \(\angle AMC = 3\angle BMC\).
-
По свойству касательной \(MB \perp OB\), то есть \(MB \perp OC\). Точка \(B\) — середина \(OC\). Значит, \(MB\) — серединный перпендикуляр к отрезку \(OC\), поэтому \(MO = MC\).
-
В равнобедренном треугольнике \(OMC\) высота \(MB\) является биссектрисой: \(\angle OMB = \angle BMC\).
-
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр: \(\angle AMO = \angle OMB\).
-
Луч \(MO\) лежит внутри угла \(AMB\), а луч \(MB\) — внутри угла \(OMC\), поэтому \(\angle AMC = \angle AMO + \angle OMB + \angle BMC = 3\angle BMC\).
Ответ
MB — серединный перпендикуляр к OC, а MO — биссектриса угла между касательными, так что угол AMC делится на три равные части.
Подробнее — в теме «Взаимное расположение прямой и окружности».