Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., § 76, упражнение 747

Задача 1

Условие (кратко)

Из концов диаметра AB проведены перпендикуляры AA₁ и BB₁ к касательной, не перпендикулярной AB. Докажите, что точка касания — середина отрезка A₁B₁.

Решение

Дано: $$AB$$ — диаметр, $$O$$ — центр, $$l$$ — касательная в точке $$C$$ , $$l$$ не перпендикулярна $$AB$$ , $AA_1 \perp l$ , $BB_1 \perp l$ . Доказать: $$A_1C = CB_1$$ .

По свойству касательной $OC \perp l$ . Прямые $$AA_1$$ , $$OC$$ , $$BB_1$$ перпендикулярны одной прямой $$l$$ , поэтому параллельны.
Точки $$A_1$$ , $$C$$ , $$B_1$$ различны: так как $$l$$ не перпендикулярна $$AB$$ , проекции точек $$A$$ , $$O$$ , $$B$$ на $$l$$ не совпадают.
Параллельные прямые $$AA_1$$ , $$OC$$ , $$BB_1$$ отсекают на прямой $$AB$$ равные отрезки $$AO = OB$$ (радиусы). По теореме Фалеса они отсекают равные отрезки и на прямой $$l$$ : $$A_1C = CB_1$$ .

Значит, $$C$$ — середина $$A_1B_1$$ .

Ответ

Утверждение доказано: A₁C = CB₁

Почему так

Радиус в точку касания параллелен перпендикулярам AA₁ и BB₁ и проходит через середину AB, поэтому по теореме Фалеса делит A₁B₁ пополам.

Подробнее — в теме «Взаимное расположение прямой и окружности».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Упражнение 747 к § 76

Задача 1

Похожие задачи для тренировки