Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 76

Упражнение 748 к § 76

§ 76. Взаимное расположение прямой и окружности · тема: Взаимное расположение прямой и окружности

Задача 1

Условие (кратко)

В прямоугольной трапеции ABCD ∠A = ∠D = 90°. Докажите, что прямая AD касается окружности с центром B радиуса AB.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — трапеция, $\angle A = \angle D = 90^\circ$ , окружность с центром $$B$$ и радиусом $$AB$$ . Доказать: $$AD$$ — касательная.

Точка $$A$$ лежит на окружности, так как $$BA$$ — её радиус. $\angle A = 90^\circ$ , то есть $AD \perp BA$ . Прямая $$AD$$ проходит через конец радиуса $$BA$$ , лежащий на окружности, и перпендикулярна ему — по признаку касательной $$AD$$ касается окружности в точке $$A$$ .

Ответ

Утверждение доказано: AD ⊥ BA в точке A окружности

Почему так

Признак касательной — прямая через точку окружности перпендикулярно радиусу в эту точку.

Подробнее — в теме «Взаимное расположение прямой и окружности».

Задача 2

Условие (кратко)

В прямоугольной трапеции ABCD ∠A = ∠D = 90°. Докажите, что прямая CD касается окружности с центром A радиуса AD.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — трапеция, $\angle A = \angle D = 90^\circ$ , окружность с центром $$A$$ и радиусом $$AD$$ . Доказать: $$CD$$ — касательная.

Точка $$D$$ лежит на окружности ( $$AD$$ — радиус). $\angle D = 90^\circ$ , то есть $CD \perp AD$ . По признаку касательной прямая $$CD$$ касается окружности в точке $$D$$ .

Ответ

Утверждение доказано: CD ⊥ AD в точке D окружности

Почему так

Прямая CD перпендикулярна радиусу AD в его конце, лежащем на окружности, поэтому она касательная.

Подробнее — в теме «Взаимное расположение прямой и окружности».

Задача 3

Условие (кратко)

В прямоугольной трапеции ABCD ∠A = ∠D = 90°. Докажите, что прямая CD не касается окружности с центром B радиуса BC.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — трапеция, $\angle A = \angle D = 90^\circ$ , окружность с центром $$B$$ и радиусом $$BC$$ . Доказать: $$CD$$ не касательная.

Основания $$AB$$ и $$CD$$ параллельны, $AD \perp CD$ , поэтому расстояние от $$B$$ до прямой $$CD$$ равно высоте трапеции: проведём $BH \perp CD$ , $$BH = AD$$ .
Боковая сторона $$BC$$ не перпендикулярна основаниям: иначе $BC \parallel AD$ , и $$ABCD$$ был бы параллелограммом, а не трапецией. Значит, $$BC$$ — наклонная к прямой $$CD$$ , и $$BC > BH$$ .
Расстояние от центра до прямой $$CD$$ меньше радиуса: $$d = BH < BC = r$$ . Прямая $$CD$$ — секущая, а не касательная.

Ответ

Утверждение доказано: расстояние от B до CD меньше BC, прямая CD секущая

Почему так

Радиус BC — наклонная к CD, а расстояние от B до CD — перпендикуляр, который короче, поэтому d < r.

Подробнее — в теме «Взаимное расположение прямой и окружности».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки