Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 76

Упражнение 749 к § 76

§ 76. Взаимное расположение прямой и окружности · тема: Взаимное расположение прямой и окружности

Задача 1

Условие (кратко)

AH — перпендикуляр из точки A к прямой, проходящей через центр O окружности радиуса 3 см. Является ли AH касательной, если OA = 5 см, AH = 4 см?

Решение

Дано

$AH \perp OH$
$$r = 3$$ см
$$OA = 5$$ см
$$AH = 4$$ см

Найти

является ли $$AH$$ касательной

$$H$$ лежит на прямой, проходящей через $$O$$ , и $$AH$$ перпендикулярна этой прямой, поэтому расстояние от $$O$$ до прямой $$AH$$ равно $$OH$$ .

По теореме Пифагора в $\triangle AHO$ : $OH = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ см. $$OH = r$$ — прямая $$AH$$ касается окружности.

Ответ

Да

Почему так

Расстояние от центра до прямой AH равно OH = 3 см, то есть радиусу.

Подробнее — в теме «Взаимное расположение прямой и окружности».

Задача 2

Условие (кратко)

AH — перпендикуляр из точки A к прямой, проходящей через центр O окружности радиуса 3 см. Является ли AH касательной, если ∠HAO = 45°, OA = 4 см?

Решение

Дано

$AH \perp OH$
$$r = 3$$ см
$\angle HAO = 45^\circ$
$$OA = 4$$ см

Найти

является ли $$AH$$ касательной

Расстояние от $$O$$ до прямой $$AH$$ равно $$OH$$ . В прямоугольном $\triangle AHO$ угол $AOH = 45^\circ$ , он равнобедренный: $$OH = AH$$ . По теореме Пифагора $2 \cdot OH^2 = 16$ , $OH = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$ см.

$2\sqrt{2} < 3$ , то есть $$d < r$$ , — прямая $$AH$$ секущая, а не касательная.

Ответ

Нет (OH = 2√2 см < 3 см, прямая секущая)

Почему так

Треугольник AHO равнобедренный прямоугольный, расстояние OH = 2√2 см меньше радиуса.

Подробнее — в теме «Взаимное расположение прямой и окружности».

Задача 3

Условие (кратко)

AH — перпендикуляр из точки A к прямой, проходящей через центр O окружности радиуса 3 см. Является ли AH касательной, если ∠HAO = 30°, OA = 6 см?

Решение

Дано

$AH \perp OH$
$$r = 3$$ см
$\angle HAO = 30^\circ$
$$OA = 6$$ см

Найти

является ли $$AH$$ касательной

Расстояние от $$O$$ до прямой $$AH$$ равно $$OH$$ . В прямоугольном $\triangle AHO$ катет $$OH$$ лежит против угла $30^\circ$ : $OH = \dfrac{OA}{2} = 3$ см $$= r$$ . Прямая $$AH$$ касается окружности.

Ответ

Да

Почему так

Катет против угла 30° равен половине гипотенузы, поэтому OH = 3 см — расстояние равно радиусу.

Подробнее — в теме «Взаимное расположение прямой и окружности».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки