Упражнение 739 к § 77

Пусть \(AB = d\). Нужно \(d < R - r\), где \(R\) — радиус окружности с центром \(A\), \(r\) — с центром \(B\).

1. Измерьте \(AB\).
2. Проведите окружность с центром \(B\) радиусом \(r = \dfrac{d}{2}\).
3. Проведите окружность с центром \(A\) радиусом \(R = 2d\).

Тогда \(R - r = 2d - \dfrac{d}{2} = 1{,}5d > d\), и окружность с центром \(B\) лежит внутри окружности с центром \(A\).

Пусть \(AB = d\). Нужно \(d > R + r\).

1. Разделите отрезок \(AB\) на три равные части (или просто возьмите радиусы заметно меньше половины \(AB\)).
2. Проведите окружности с центрами \(A\) и \(B\) радиусом \(\dfrac{d}{3}\) каждая.

\(R + r = \dfrac{2d}{3} < d\) — окружности не имеют общих точек и лежат одна вне другой.

Пусть \(AB = d\). Нужно \(R - r < d < R + r\).

Проведите обе окружности радиусом \(AB\): центр в \(A\) — через точку \(B\), центр в \(B\) — через точку \(A\).

\(R - r = 0 < d < 2d = R + r\) — окружности пересекаются в двух точках, симметричных относительно прямой \(AB\).

Нужно \(AB = R + r\).

1. Отметьте на отрезке \(AB\) любую точку \(K\) (кроме концов).
2. Проведите окружность с центром \(A\) радиусом \(AK\) и окружность с центром \(B\) радиусом \(BK\).

\(R + r = AK + KB = AB\) — окружности касаются внешним образом в точке \(K\).

Нужно \(AB = R - r\).

1. Отметьте на прямой точку \(K\) так, чтобы \(B\) лежала между \(A\) и \(K\).
2. Проведите окружность с центром \(A\) радиусом \(AK\) и окружность с центром \(B\) радиусом \(BK\).

\(R - r = AK - BK = AB\) — окружности касаются внутренним образом в точке \(K\).