Взаимное расположение двух окружностей

Положите на стол две монеты разного размера и двигайте одну к другой. Сначала между ними зазор, потом края касаются, затем монеты перекрываются, малая касается большой изнутри и, наконец, целиком прячется внутри. Всё это время меняется только одно — расстояние между центрами.

Больше двух общих точек не бывает

Пусть у двух окружностей с разными центрами \(O_1\) и \(O_2\) три общие точки \(A\), \(B\), \(C\). Каждый центр равноудалён от \(A\), \(B\) и \(C\), значит, лежит и на серединном перпендикуляре к \(AB\), и на серединном перпендикуляре к \(BC\). Получается, что две разные прямые проходят через две точки \(O_1\) и \(O_2\) — так не бывает. Окружности с общим центром и разными радиусами называют концентрическими: у них общих точек нет вовсе.

Названия случаев

• Две общие точки — окружности пересекаются.
• Одна общая точка — окружности касаются, общая точка — точка касания. Касание бывает внешним (окружности снаружи друг от друга) и внутренним (меньшая внутри большей).
• Нет общих точек — одна окружность лежит вне другой или внутри другой.

Теорема о расположении двух окружностей

Пусть \(O_1O_2 = d\), радиусы \(R\) и \(r\), \(R \ge r\), центры не совпадают. Тогда:

1. \(R - r < d < R + r\) — окружности пересекаются;
2. \(d = R + r\) — касаются внешним образом;
3. \(d = R - r\) (при \(R > r\)) — касаются внутренним образом;
4. \(d > R + r\) — общих точек нет, одна окружность вне другой;
5. \(d < R - r\) (при \(R > r\)) — общих точек нет, меньшая окружность внутри большей.

Почему при касании точка одна. Возьмём внутреннее касание, \(d = R - r\). Отложим на луче \(O_1O_2\) отрезок \(O_1K = R\). Тогда \(O_2K = R - d = r\), и точка \(K\) лежит на обеих окружностях. Для любой другой точки \(M\) меньшей окружности по неравенству треугольника \(O_1M < O_1O_2 + O_2M = d + r = R\) — точка \(M\) внутри большей окружности. Значит, общая точка одна. Внешнее касание разбирается так же, только \(K\) лежит между центрами.

Почему при пересечении точек две. Если \(R - r < d < R + r\), то отрезки \(d\), \(R\), \(r\) удовлетворяют неравенству треугольника, и из них можно сложить треугольник \(O_1M_1O_2\) с \(O_1M_1 = R\), \(O_2M_1 = r\). Точка \(M_1\) лежит на обеих окружностях, а симметричная ей относительно прямой \(O_1O_2\) точка \(M_2\) — тоже.

Следствие. Точка касания двух окружностей лежит на прямой центров, а точки пересечения — нет: они симметричны относительно этой прямой, и общая хорда \(M_1M_2\) перпендикулярна \(O_1O_2\).

Как решать задачи

1. Обозначьте больший радиус \(R\), меньший \(r\) и посчитайте \(R + r\) и \(R - r\).
2. Найдите, куда попадает \(d\): левее \(R - r\), равно ему, между, равно \(R + r\) или правее.
3. Если дано расположение, а нужно найти \(d\) или радиус, — запишите соответствующее равенство или неравенство и решите его.
4. В задачах на касающиеся окружности соединяйте центры: отрезок проходит через точку касания, его длина — сумма или разность радиусов.