Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 77

Упражнение 756 к § 77

Задача 1

Условие (кратко)

Три равные окружности радиуса r попарно касаются внешним образом. Найдите стороны и углы треугольника с вершинами в центрах окружностей.

Решение

Дано

Найти

При внешнем касании расстояние между центрами равно сумме радиусов: $$O_1O_2 = O_2O_3 = O_1O_3 = r + r = 2r$$ .

Треугольник равносторонний, поэтому все его углы равны $60^\circ$ .

Ответ

Стороны 2r, углы по 60°

Почему так

Расстояние между центрами касающихся внешним образом окружностей равно сумме радиусов.

Условие (кратко)

Три равные окружности радиуса r попарно касаются внешним образом. Найдите стороны и углы треугольника с вершинами в точках касания.

Решение

Дано

Найти

Точка касания лежит на прямой центров, причём $$O_1K_3 = K_3O_2 = r$$ , то есть $$K_3$$ — середина $$O_1O_2$$ . Так же $$K_1$$ и $$K_2$$ — середины двух других сторон треугольника $$O_1O_2O_3$$ .
Значит, стороны $\triangle K_1K_2K_3$ — средние линии треугольника $$O_1O_2O_3$$ , каждая равна половине параллельной ей стороны: $\dfrac{2r}{2} = r$ .
Треугольник $$K_1K_2K_3$$ равносторонний, его углы равны $60^\circ$ .

Ответ

Стороны r, углы по 60°

Почему так

Точки касания — середины сторон треугольника центров, а стороны треугольника точек касания — его средние линии.