Задача 1
В угол, равный 60°, вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен r. Найдите радиус большей окружности.
Решение
- \(\angle A = 60^\circ\)
- окружности с центрами \(O_1\) (радиус \(r\)) и \(O_2\) (радиус \(R\)
- \(R > r\)) касаются сторон угла и друг друга внешним образом
- \(R\)
-
Центр окружности, вписанной в угол, равноудалён от его сторон и лежит на биссектрисе. Поэтому \(O_1\) и \(O_2\) лежат на биссектрисе, которая образует со сторонами углы \(30^\circ\).
-
Пусть \(H_1\) — точка касания меньшей окружности со стороной угла. В прямоугольном \(\triangle AH_1O_1\) катет \(O_1H_1 = r\) лежит против угла \(30^\circ\), поэтому \(AO_1 = 2r\). Так же \(AO_2 = 2R\).
-
Большая окружность дальше от вершины, поэтому \(O_1O_2 = AO_2 - AO_1 = 2R - 2r\). При внешнем касании \(O_1O_2 = R + r\).
-
\(2R - 2r = R + r\), откуда \(R = 3r\).
Ответ
Центры лежат на биссектрисе, расстояния от вершины до центров вдвое больше радиусов, а расстояние между центрами равно сумме радиусов.
Подробнее — в теме «Взаимное расположение двух окружностей».