Задача 1
Докажите утверждение 2 теоремы о взаимном расположении окружностей — если расстояние между центрами равно сумме радиусов, то окружности касаются внешним образом.
Решение
Дано: окружности с центрами \(O_1\), \(O_2\) и радиусами \(R\), \(r\), \(O_1O_2 = d = R + r\). Доказать: окружности касаются внешним образом.
-
На луче \(O_1O_2\) отложим отрезок \(O_1K = R\). Так как \(R < d\), точка \(K\) лежит на отрезке \(O_1O_2\), и \(O_2K = d - R = r\). Значит, \(K\) лежит на обеих окружностях.
-
Пусть \(M\) — любая другая точка окружности с центром \(O_2\). По неравенству треугольника \(O_1O_2 \le O_1M + MO_2\), то есть \(O_1M \ge d - r = R\), причём равенство возможно, только если \(M\) лежит на отрезке \(O_1O_2\), то есть \(M = K\). Поэтому \(O_1M > R\): все точки второй окружности, кроме \(K\), — внешние относительно первой.
-
Так же все точки первой окружности, кроме \(K\), — внешние относительно второй (\(O_2N \ge d - R = r\)).
Окружности имеют единственную общую точку \(K\) и лежат одна вне другой — они касаются внешним образом.
Ответ
Точка на отрезке центров на расстоянии R от O₁ общая, а неравенство треугольника показывает, что остальные точки лежат снаружи.
Подробнее — в теме «Взаимное расположение двух окружностей».