Задача 1
Докажите утверждение 4 теоремы — если расстояние между центрами больше суммы радиусов, то окружности не имеют общих точек и одна лежит вне другой.
Решение
Дано: окружности с центрами \(O_1\), \(O_2\), радиусами \(R\), \(r\), \(O_1O_2 = d > R + r\). Доказать: общих точек нет, одна окружность вне другой.
-
Пусть \(M\) — любая точка окружности с центром \(O_2\), \(O_2M = r\). По неравенству треугольника \(O_1O_2 \le O_1M + MO_2\), откуда \(O_1M \ge d - r > R\). Значит, \(M\) не лежит на первой окружности и является внешней точкой относительно неё.
-
Аналогично для любой точки \(N\) первой окружности \(O_2N \ge d - R > r\) — она внешняя относительно второй.
Общих точек нет, и ни одна окружность не лежит внутри другой — окружность с центром \(O_2\) лежит вне окружности с центром \(O_1\).
Ответ
Из неравенства треугольника O₁M ≥ d − r > R, поэтому все точки второй окружности лежат вне первой.
Подробнее — в теме «Взаимное расположение двух окружностей».