Задача 1
Докажите утверждение 5 теоремы — если расстояние между центрами окружностей с неравными радиусами меньше разности радиусов, то одна окружность лежит внутри другой.
Решение
Дано: окружности с центрами \(O_1\), \(O_2\), радиусами \(R > r\), \(O_1O_2 = d < R - r\). Доказать: окружность с центром \(O_2\) лежит внутри окружности с центром \(O_1\).
-
Если \(d = 0\), окружности концентрические и для любой точки \(M\) меньшей окружности \(O_1M = r < R\).
-
Если \(d > 0\), возьмём любую точку \(M\) окружности с центром \(O_2\). По неравенству треугольника \(O_1M \le O_1O_2 + O_2M = d + r\). По условию \(d + r < R\), значит, \(O_1M < R\).
-
Каждая точка меньшей окружности — внутренняя относительно большей; общих точек нет.
Ответ
По неравенству треугольника расстояние от O₁ до точки меньшей окружности не больше d + r, а это меньше R.
Подробнее — в теме «Взаимное расположение двух окружностей».