Задача 1
Постройте касательную к данной окружности, проходящую через данную точку вне окружности.
Решение
Дано: окружность с центром \(O\) и радиусом \(R\), точка \(M\), \(OM = d > R\). Построить: касательную через \(M\).
Построение.
- Проведите отрезок \(OM\) и постройте его середину \(O_1\) (через серединный перпендикуляр).
- Проведите окружность с центром \(O_1\) радиусом \(O_1M = \dfrac{d}{2}\).
- Отметьте точки \(K\) и \(K_1\) пересечения двух окружностей.
- Проведите прямые \(MK\) и \(MK_1\) — это искомые касательные.
Почему окружности пересекаются. Расстояние между центрами \(OO_1 = \dfrac{d}{2}\), радиусы \(R\) и \(\dfrac{d}{2}\). Так как \(d > R\), то \(\left|R - \dfrac{d}{2}\right| < \dfrac{d}{2} < R + \dfrac{d}{2}\) — условие пересечения выполнено, общих точек две.
Почему \(MK\) — касательная. В \(\triangle OKM\) отрезок \(KO_1\) — медиана, и \(KO_1 = O_1O = O_1M = \dfrac{d}{2}\). Треугольники \(OO_1K\) и \(MO_1K\) равнобедренные, поэтому \(\angle O_1KO = \angle O\) и \(\angle O_1KM = \angle M\). Значит, \(\angle OKM = \angle O + \angle M\), а так как сумма углов треугольника \(180^\circ\), то \(\angle OKM = 90^\circ\). Прямая \(MK\) проходит через точку \(K\) окружности и перпендикулярна радиусу \(OK\) — по признаку она касательная. Так же и \(MK_1\).
Задача имеет два решения.
Ответ
Точка касания видна из отрезка OM под прямым углом, поэтому лежит на окружности с диаметром OM, а она пересекает данную окружность в двух точках.
Подробнее — в теме «Взаимное расположение двух окружностей».