Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 78

Упражнение 755 к § 78

§ 78. Общие касательные двух окружностей · тема: Общие касательные двух окружностей

Задача 1

Условие (кратко)

Сколько общих касательных имеют две окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусами R и r, если O₁O₂ = 12 см, R = 8 см, r = 6 см?

Решение

Дано

$$d = O_1O_2 = 12$$ см
$$R = 8$$ см
$$r = 6$$ см

Найти

число общих касательных

$$R + r = 14$$ см, $$R - r = 2$$ см. $$2 < 12 < 14$$ — окружности пересекаются. У пересекающихся окружностей две общие касательные (обе внешние).

Ответ

Две

Почему так

Число общих касательных определяется расположением окружностей; при пересечении их две.

Подробнее — в теме «Общие касательные двух окружностей».

Задача 2

Условие (кратко)

Сколько общих касательных имеют две окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусами R и r, если O₁O₂ = 12 см, R = 8 см, r = 4 см?

Решение

Дано

$$d = 12$$ см
$$R = 8$$ см
$$r = 4$$ см

Найти

число общих касательных

$$R + r = 12$$ см $$= d$$ — окружности касаются внешним образом. Общих касательных три: две внешние и одна в точке касания.

Ответ

Три

Почему так

При внешнем касании, d = R + r, у окружностей три общие касательные.

Подробнее — в теме «Общие касательные двух окружностей».

Задача 3

Условие (кратко)

Сколько общих касательных имеют две окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусами R и r, если O₁O₂ = 12 см, R = 6 см, r = 4 см?

Решение

Дано

$$d = 12$$ см
$$R = 6$$ см
$$r = 4$$ см

Найти

число общих касательных

$$R + r = 10$$ см $$< 12$$ см — окружности не имеют общих точек и лежат одна вне другой. Общих касательных четыре: две внешние и две внутренние.

Ответ

Четыре

Почему так

Если d > R + r, окружности лежат одна вне другой и имеют четыре общие касательные.

Подробнее — в теме «Общие касательные двух окружностей».

Задача 4

Условие (кратко)

Сколько общих касательных имеют две окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусами R и r, если O₁O₂ = 2 см, R = 8 см, r = 6 см?

Решение

Дано

$$d = 2$$ см
$$R = 8$$ см
$$r = 6$$ см

Найти

число общих касательных

$$R - r = 2$$ см $$= d$$ — окружности касаются внутренним образом. Общая касательная одна — прямая через точку касания, перпендикулярная $$O_1O_2$$ .

Ответ

Одну

Почему так

При внутреннем касании, d = R − r, общая касательная единственная.

Подробнее — в теме «Общие касательные двух окружностей».

Задача 5

Условие (кратко)

Сколько общих касательных имеют две окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусами R и r, если O₁O₂ = 3 см, R = 5 см, r = 4 см?

Решение

Дано

$$d = 3$$ см
$$R = 5$$ см
$$r = 4$$ см

Найти

число общих касательных

$$R - r = 1$$ см, $$R + r = 9$$ см. $$1 < 3 < 9$$ — окружности пересекаются, поэтому у них две общие касательные.

В ответах учебника указано «ни одной», но это верно только для окружностей, одна из которых лежит внутри другой ( $$d < R - r$$ ). При данных числах $$d = 3 > 1 = R - r$$ , окружности пересекаются.

Ответ

Две

Почему так

Окружности пересекаются (R − r < d < R + r), а у пересекающихся окружностей две общие касательные.

Подробнее — в теме «Общие касательные двух окружностей».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Похожие задачи для тренировки